摘　要：小波分析是一种信号的时间—频率分析方法。由于小波分析可以将信号的高低频成分分开，他在消除噪声方面有着显著的效果．本文简述了小波分析的原理，并通过Matlab实现了对一条近红外光谱的消噪。
　　关键词：小波分析；Matlab；近红外；噪声

    传统的傅里叶变换是消除噪声的有力工具，从物理意义上讲，傅里叶变换的实质是把信号波形分解成不同频率的正弦波的叠加和，他在频域内是局部化的。但从其表达式：

可以看出，傅里叶变换要求提供信号的全部信息，时域信号的局部改变会影响频域的全局改变。同样频域中的某点变化也会影响全部时域。这样信号分析中就面临着一对矛盾：时域和频域局部化的矛盾。
　　为克服傅里叶变换在时频局部化方面的不足，D．Gabor于1946年提出窗口傅里叶变换WFT。其基本思想是：把信号划分成许多小的时间间隔，用傅里叶变换分析每一个时间间隔，以便确定该时间间隔存在的频率，其表达式为：

其中：g（t）是紧支集函数，起时限作用；e^－iωt起频限作用。
　　（Gf）（ω，τ）大致反映了信号f（t）在τ时刻频率为ω的信号成分的相对含量。这样信号在窗函数上的展开就可以表示为在［τ－δ，τ＋δ］，［ω－ε，ω＋ε］这一 区域内的状态，并把这一区域称为窗口，当窗口函数确定后，τ，ω只能改变窗口在相平面上的位置，而不能改变窗口的形状。实际应用中需要一种自适应的时-频局部化方法。即选择一个窗函数，希望其时-频窗的形状是自适应变化的，对低频信号，其窗口形状自动变得扁平，对高频信号，其窗口自动变得瘦长，对此WFT无能为力。
　　在窗口傅里叶变换中，通常是以时域开窗性能为主来考虑问题，先将f（t）时域局部化为f（t）g（t－τ），再对开窗后局部时域信号作傅里叶变换，因此难以自动适应低、高频信号在时域和频域中的局部表现。也可以换一个角度来观察WFT，即采用形式（Gf）（ω，τ）＝这是一种新的思考方式，在积分小波变换的意义下，既把看做变换函数，又把g看做对f（t）在时域和频域 都能起作用的窗函数。不妨假设窗函数具有抽象形式：　
　　　　
他是由Ψ（t）经平移和放缩的结果。这种形式的窗函数能同时表现时间和频率方面的特征。因为a在Ψ_ab（t）中作为表现频率的参数，所以他不仅能适应关于不同频率时域信号的时窗函数的要求，而且在中也 含有参数http://www.embeded.cn/upload/2005/06/1118222916.jpg" target=_blank>也能适应关于不同频率的频窗函 数的要求。
　　 根据以上分析，把对信号f（t）∈L²（R）的积分变换：

称为允许条件。
　　这样小波变换对不同频率在时域上的取样步长是调节性的，即低频时小波变换的时间分辨率较差，而频率分辨率较高；高频时小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低，这正符合低频信号变化缓慢而高频信号变化迅速的特点。
　　在实际应用中，通常将Ψ_ab（t）中的连续变量a和b取作整数离散形式，将Ψ_ab（t）表示为：
　　
离散小波Ψ_j，k（t）由小波函数Ψ（t）经2^j整数倍放、缩和经整数k平移生成。离散小波变换是关于频率指标j

的小波变换实际上把信号f（t）的频率范围限制在频窗所确定的子频带内，小波变换结果是这个频带内的时域分量。小波Ψ_j，k（t）是一带通函数，他的小波变换在频域方面的局部化作用由j调节，在时域方面的局部化作用由k调节。由此可知，小波分析方法并不像傅里叶分析方法那样把时域信号表示为若干精确的频率分量之和，而是将其表示为若干描述子频带的时域分量之和。
　　由于实际信号中噪声往往是高频成分，噪声的消除可按以下3个步骤：
　　（1）选择小波和小波分解的层次，计算信号s到第N层的小波分解。
　　 （2）高频系数的阈值选择。对于从第1层到第N 层的每一层，选择一个阈值，并且对高频系数用软阈值进行处理。
　　（3）根据第N层的低频系数和从第1层到第N层的经过修改的高频系数，计算出信号的小波重建。
　　 在Matlab中实现小波消噪：
　　
　　
　　
　　
　　程序中使用的db5小波属于Daubechies小波系，是紧支撑正交小波，没有明确的表达式，但转换系数的平方模明确。假设：

　　图1为原信号与各层分解系数。从图中我们可以清楚看到，小波分解的实质是把信号分解为不同频率下的时域信号。

　　从图2可以看出经3层小波分解后，如去除全部高频系数，重构的波形光滑，同时缺少细节；如只去除1，2层高频系数则波形细节较明显。具体如何选择需要依据光谱的信噪比以及信号和噪声在频域中的分布决定。

［1］胡昌华，张军波．基于Matlab的系统分析与设计小波分析［M］．西安：西安电子科技大学出版社，1999．
［2］徐长发，李国宽．实用小波方法［M］．武汉：华中科技大学出版社，2001．